Agrégation externe de mathématiques

Algorithme de Berlekamp ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un algorithme un peu magique pour décomposer les polynômes sur les corps finis.

Théorème de la base de Burnside ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Encore une propriété forte des p-groupes finis.

Par cinq points passe une conique ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un joli développement qui montre que l'on comprend les coniques !

Fonctions conservant les triangles rectangles ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un théorème de géométrie affine étonnant mais un peu long.

Critères de Dumas et d'Eisenstein ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une version d'Eisenstein qui change de l'habitude, et beaucoup plus visuelle.

Critère de Klarès ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un résultat joli mais dont la démonstration est assez courte.

L'exponentielle sur les matrices symétriques est un homéomorphisme ✦ ✧ ✧ ✧ ✧

Une démonstration beaucoup trop courte qui n'a aucune valeur.

Forme normale de Smith ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un algorithme important qu'il est bon de connaître même hors du contexte des développements.

Indicateur de Frobenius-Schur ✦ ✦ ✦ ✦ ✦

Un très beau théorème de représentations qui demande une bonne maîtrise de tous les concepts.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Le calcul des polynômes minimaux des racines de l'unité, utile en géométrie par exemple.

Méthode de Newton pour la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un algorithme simple mais dont la preuve de correction est technique.

Théorème de Lie-Kolchin ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un très beau théorème avec beaucoup d'idées originales.

Nombre de matrices nilpotentes sur les corps finis ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration très élégante d'une formule miraculeusement simple.

Pavages directs du plan ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

La démonstration, un peu longue mais intuitive, d'un résultat très visuel.

Théorèmes de Wantzel et de Gauss ✦ ✦ ✦ ✦ ✦

Un des théorèmes les plus importants historiquement, qui demande une bonne aisance en théorie des corps.

Loi de réciprocité quadratique ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration très originale et visuelle due à Eisenstein d'une des formules les plus importantes en arithmétique.

Théorème de Sophie Germain ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un résultat intéressant dans son cadre historique, dont la démonstration est assez difficile à retenir.

Théorème de Springer ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un très élégant théorème d'isotropie pour faire de belles leçons sur les formes quadratiques.

Théorème de Bohr-Mollerup ✦ ✦ ✧ ✧ ✧

Une jolie caractérisation de la fonction Gamma, et des corollaires importants.

Densité des polynômes orthogonaux ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un théorème avec peu de profondeur mais une jolie démonstration.

Équivalent des suites u_n+1 = f(u_n) ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Un résultat calculatoire qui englobe plein de calculs d'équivalents de suites.

Espace de Bergman ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

L'étude d'un joli espace qui mélange les miracles de l'analyse complexe et ceux des espaces de Hilbert.

Formule des compléments ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Une formule importante qui a pour corollaire le calcul de l'intégrale de Gauss.

Théorème taubérien de Littlewood ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration difficile à rendre très intelligible, mais avec des jolies idées.

Inégalité isopérimétrique ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

La version continûment dérivable qui utilise le théorème de Stokes et les séries de Fourier.

Les isométries locales sont des isométries affines ✦ ✦ ✧ ✧ ✧

Une illustration des raisonnements usuels de connexité et d'inversion locale.

Théorème de Lax-Milgram et solution faible de -(pu')' + qu' + u = f ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration pas difficile mais qui nécessite des distributions et Sobolev.

Théorème de stabilité de Lyapounov ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un résultat intuitif de stabilité des EDO non-linéaires, introduisant les fonctions de Lyapounov.

Théorèmes de Montel et de Osgood ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un théorème d'analyse complexe à la Ascoli qui a des conséquences très étonnantes.

Formule de Poisson ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Une formule bien connue qui a des conséquences importantes un peu partout.

Théorèmes de Helly, Prokhorov et Lévy ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration assez longue qui peut aboutir à une démonstration immédiate du théorème central limite.

Théorème d'indécomposabilité de Raikov ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Une application étonnante des relèvements exponentiels et du théorème de la partie réelle de Hadamard.

Théorèmes des trois droites de Hadamard et de Riesz-Thorin ✦ ✦ ✦ ✦ ✦

Un principe du maximum modifié et un théorème fort à la base de la théorie de l'interpolation.

Théorème de Stone-Weierstrass avec les polynômes de Bernstein ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Une démonstration bien connue mais très intéressante sur beaucoup d'aspects.

Théorème de Sunyer i Balaguer ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration assez technique d'un résultat intuitif.

Zéros des solutions aux équations de Hill ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Un résultat d'estimation des temps d'annulation de fonctions qui ressemblent à cos ou sin.

Composantes connexes de l'espace des formes quadratiques ✦ ✦ ✧ ✧ ✧

Un développement pas difficile dans la continuité de l'inertie de Sylvester.

Convergence de suites de polygones ✦ ✦ ✧ ✧ ✧

Un résultat intuitif dont la démonstration est assez élégante.

Théorème des extrema liés ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

La version géométrique du théorème, qui vient de l'expression des espaces tangents comme des noyaux.

Loi limite de la structure en cycles d'une permutation aléatoire ✦ ✦ ✦ ✦ ✦

Un théorème fort dont les corollaires eux-mêmes peuvent être des développements. Merci beaucoup à Jürgen Angst pour les discussions à son propos !

Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une très jolie illustration de la formule du crible de Poincaré et de l'utilisation des séries de Dirichlet.

Simplicité du groupe SO₃(R) ✦ ✦ ✦ ✧ ✧

Une démonstration courte mais élégante, qui demande de maîtriser quelques petits résultats au préalable.

Lemme de Sperner et théorème de Brouwer ✦ ✦ ✦ ✦ ✧

Une démonstration combinatoire d'un théorème d'analyse, qui se généralise aux dimensions supérieures.