Voici les leçons et les développements que j'ai rédigés, n'hésitez pas à venir me poser des questions ou à me faire des remarques constructives. De plus, voici mon mémoire de master : Les anneaux principaux.
Leçons
Plans d'algèbre
- 101 : Groupes opérant sur un ensemble, exemples et applications
- 102 : Groupe des nombres complexes de module 1, sous-groupes des racines de l’unité, applications
- 103 : Conjugaison dans un groupe, exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients, applications
- 104 : Groupes abéliens et non abéliens finis, exemples et applications
- 105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini, applications
- 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E), applications
- 107 : Représentations et caractères linéaires d'un groupe fini sur C-espace vectoriel, exemples
- 108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe, applications
- 120 : Anneaux Z/nZ, applications
- 121 : Nombres premiers, applications
- 122 : Anneaux principaux, applications
- 123 : Corps finis, applications
- 125 : Extensions de corps, exemples et applications
- 126 : Exemples d'équations en arithmétique
- 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée, corps de rupture, exemples et applications
- 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul, applications
- 144 : Racines de polynômes, fonctions symétriques élementaires, exemples et applications
- 150
: Exemples d’actions de groupes sur des espaces de matrices
- 151 : Dimension d’un espace vectoriel (en dimension finie), rang, exemples et applications
- 152 : Déterminants, exemples et applications
- 153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie, réduction d’un endomorphisme en dimension finie, applications
- 154
: Sous-espaces stables par un endomorphismeou une famille
d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie,
applications
- 155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie
- 156
: Exponentielle de matrices, applications
- 157 : Endomorphismes trigonalisables, endomorphismes nilpotents
- 158
: Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes
- 159
: Formes linéaires et dualité en dimension finie, exemples et
applications
- 160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (en dimension finie)
- 161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien
- 162
: Systèmes d’équations linéaires, opérations élémentaires,
aspects algorithmiques et conséquences théoriques
- 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie, orthogonalité, isotropie, applications
- 171
: Formes quadratiques réelles, coniques, exemples et
applications
- 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité, applications
- 190 : Méthodes combinatoires,
problèmes de dénombrement (impasse)
- 191
: Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie
Plans d'analyse
- 201 : Espaces de fonctions, exemples et applications
- 203 : Utilisation de la notion
de compacité
- 204
: Connexité, exemples et applications
- 205 : Espaces complets, exemples et applications
- 207 : Prolongements de fonctions, exemples et applications
- 208
: Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues,
exemples
- 209
: Approximation d'une fonction par des fonctions régulières,
exemples et applications
- 213 : Espaces de Hilbert, bases hilbertiennes, exemples et applications
- 214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, exemples et applications en analyse et en géométrie
- 215
: Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n,
exemples et applications
- 219
: Extrema, existence, caractérisations, recherche, exemples et
applications
- 220 : Equations différentielles ordinaires, exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2
- 221 : Équations différentielles linéaires, systèmes d’équations différentielles linéaires, exemples et applications
- 222
: Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires
- 223
: Suites numériques, convergence, valeurs d’adhérence,
exemples et applications
- 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation u_{n+1} = f(u_n), exemples et applications à la résolution approchée d'équations
- 228
: Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions
réelles d’une variable réelle, exemples et applications
- 229
: Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et
applications
- 230 : Séries de nombres réels ou complexes, comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques, exemples
- 233 : Analyse numérique matricielle, résolutionapprochée de systèmes linéaires, recherche d’élémentspropres, exemples
- 234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables
- 235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales
- 236
: Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul
d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables
- 239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre, exemples et applications
- 241 : Suites et séries de fonctions, exemples etcontre-exemples
- 243
: Séries entières, propriétés de la somme, exemples et
applications
- 245
: Fonctions d'une variable complexe, exemples et applications
- 246 : Séries de Fourier, exemples et applications
- 250 : Transformation de Fourier, applications
- 253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse
- 261
: Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples,
applications
- 262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires, théorèmes limite, exemples et applications
- 264
: Variables aléatoires discrètes, exemples et applications
- 265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales
- 266 : Illustration de la notion d'indépendance en probabilités
- 267 : Exemples d'utilisation
de courbes en dimension 2 ou supérieure (impasse)
Développements
Développements d'algèbre
- Critère d'irréductibilité d'Eisenstein
- Décomposition de Dunford-Jordan-Chevalley
- Décompositions LU et de Cholesky
- Déterminant circulant et suite de polygones
- Déterminant de Gram et inégalité de Hadamard
- Différentielle de l'exponentielle matricielle
- Enveloppe convexe de On(R)
- Equation de Mordell pour k = 2 et anneau Z[i√2]
- Equation des deux carrés par les entiers de Gauss
- Formes de Hankel
- Générateurs de SL(E) et GL(E)
- Homéomorphismes de l'exponentielle entre Sn(R) et Sn++(R)
- Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
- Lemme de Morse
- Loi de réciprocité quadratique
- Minimisation de fonctionnelle quadratique
- Réduction dans On(R)
- Réduction de Jordan
- Simplicité de SO3(R) par une partie génératrice
- Simplicité du groupe alterné An
- Table des caractères de S4
- Théorème de l'élément primitif
- Théorème de Sophie Germain
- Théorème de structure des groupes abéliens finis
- Théorèmes de Sylow
Développements d'analyse
- Calcul d'une intégrale par théorème des résidus
- Calcul d'une intégrale par un développement en série entière
- Connexité des valeurs d'adhérence et critère de convergence
- Décompositions LU et de Cholesky
- Différentielle de l'exponentielle matricielle
- Enveloppe convexe de On(R)
- Homéomorphisme de l'exponentielle entre Sn(R) et Sn++(R)
- Lemme de Morse
- Marches aléatoires sur Z^d
- Minimisation de fonctionnelle quadratique
- Méthode de Newton
- Prolongement holomorphe de la fonction Gamma d'Euler
- Résolution de l'équation des ondes dans S(R)
- Résolution d'une équation aux dérivées partielles par changement de coordonnées
- Simplicité de SO3(R) par la connexité de SOn(R)
- Théorème central limite et intervalle de confiance
- Théorème de convergence de Féjer
- Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
- Théorème de projection sur un convexe fermé non vide
- Théorème de Riesz-Fischer
- Théorème de stabilité de Liapounov
- Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein
- Théorème des familles normales de Montel
- Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
- Théorèmes de Cauchy-Lipschitz globalement lipschitzien et linéaire
- Transformation de
Fourier dans L2 et théorème de Plancherel